數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理 

       數(shù)字濾波器簡(jiǎn)介

數(shù)字濾波器是一種用來(lái)過(guò)濾時(shí)間離散信號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理來(lái)達(dá)到頻域?yàn)V波的目的?？梢栽O(shè)計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，讓它滿(mǎn)足一定的要求，從而對(duì)通過(guò)該系統(tǒng)的信號(hào)的某些特定的頻率成分進(jìn)行過(guò)濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)，則濾波器稱(chēng)為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個(gè)離散系統(tǒng)，則濾波器稱(chēng)為數(shù)字濾波器。

信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后，其輸出 就是輸入信號(hào)和系統(tǒng)沖激響應(yīng) 的卷積。除了外， 的波形將不同于輸入波形 。從頻域分析來(lái)看，信號(hào)通過(guò)線(xiàn)性系統(tǒng)后，輸出信號(hào)的頻譜將是輸入信號(hào)的頻譜與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積。除非 為常數(shù)，否則輸出信號(hào)的頻譜將不同于輸入信號(hào)的頻譜，某些頻率成分較大的模，因此，中這些頻率成分將得到加強(qiáng)，而另外一些頻率成分 的模很小甚至為零， 中這部分頻率分量將被削弱或消失。因此，系統(tǒng)的作用相當(dāng)于對(duì)輸入信號(hào)的頻譜進(jìn)行加權(quán)。 

        IIR濾波器的設(shè)計(jì)原理

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一般是利用目前已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，通常采用模擬濾波器原型有butterworth函數(shù)、chebyshev函數(shù)、bessel函數(shù)、橢圓濾波器函數(shù)等。 

       IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟：

(1) 按照一定規(guī)則把給定的濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo);

(2) 根據(jù)模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)為響應(yīng)的模擬低通濾波器;

(3) 很據(jù)脈沖響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性不變法把模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器;

(4) 如果要設(shè)計(jì)的濾波器是高通、帶通或帶阻濾波器，則首先把它們的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)為數(shù)字低通濾波器，最后通過(guò)頻率轉(zhuǎn)換的方法來(lái)得到所要的濾波器。

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法

IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為

假設(shè)M≤N，當(dāng)M N時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)和 ，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問(wèn)題，即在規(guī)定意義上(通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則)去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器;如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。

1.用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器

利用模擬濾波器來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應(yīng)不變法是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)

ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿(mǎn)足 h(n)=ha(nT)

式中,T是采樣周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的Z變換，利用采樣序列的

Z變換與模擬信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系得

則可看出，脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器的S平面變換成數(shù)字濾波器的Z平面，這個(gè)從s到z的變換z=esT是從S平面變換到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系式。

圖1-1脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系

由(1-1)式，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)間的關(guān)系為

這就是說(shuō)，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以?xún)?nèi)時(shí)，即

才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以?xún)?nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，

而不產(chǎn)生混疊失真，即

但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖7-4所示。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。

圖1-2脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象

對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為fs，若使fs

增加，即令采樣時(shí)間間隔(T=1/fs)減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。