“求自由落體的瞬時(shí)速度”教案

課堂教學(xué)是有目標(biāo)、有計(jì)劃的活動(dòng)，它需要教師在課前作出周密的策劃形成教學(xué)預(yù)案。教學(xué)預(yù)設(shè)就是教師在精研教材、全面了解學(xué)情的基礎(chǔ)上探討合適的教學(xué)策略并設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)預(yù)案。沒有教學(xué)預(yù)設(shè)的課堂必定無法組織有效教學(xué)，更無法形成高效的生成。會(huì)造成學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)就只剩下公式的計(jì)算，而對(duì)極限的數(shù)學(xué)思想缺少應(yīng)有的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，不利于學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深刻理解。本文就以學(xué)生的知識(shí)形成過程為核心談?wù)?..更多

一、自由落體速度猜測(cè)

伽利略認(rèn)為，重物與輕物應(yīng)該下落得同樣快。他猜想落體運(yùn)動(dòng)應(yīng)該是一種最簡(jiǎn)單的變速運(yùn)動(dòng)，物體的速度應(yīng)該是均勻變化的。但是，速度的變化怎樣才算是均勻的呢?他考慮了兩種可能：一種是速度的變化對(duì)時(shí)間來說是均勻的，即v與t成正比;另一種是速度的變化對(duì)位移來說是均勻的，即v與x成正比。

數(shù)學(xué)推理

伽利略通過數(shù)學(xué)運(yùn)算得出：如果v與x成正比，將會(huì)得到荒謬的結(jié)論;如果v與t成正比，它通過的位移x就與t2成正比。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了便于測(cè)量時(shí)間，伽利略設(shè)法用斜面做實(shí)驗(yàn)。他在木制斜槽上蒙上羊皮紙，讓銅球從光滑的羊皮斜槽上滾下，通過上百次對(duì)不同質(zhì)量的小球沿不同傾角的光滑斜面越大的定量研究，發(fā)現(xiàn)小球沿光滑斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)通過的位移x確實(shí)與t2成正比，小球的運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，且傾角一定不同小球的加速度一定，傾角越大加速度越大。

合理外推

伽利略將他在斜面實(shí)驗(yàn)中得出的結(jié)論做了合理的外推：設(shè)想斜面的傾角越接近90°，小球沿斜面滾下的運(yùn)動(dòng)就越接近于自由落體運(yùn)動(dòng);當(dāng)斜面的傾角達(dá)到90°時(shí)，小球就做自由落體運(yùn)動(dòng)。從而，自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且所有物體自由下落時(shí)的加速度都相同。

二、自由落體平均速度

平均速度

做變速運(yùn)動(dòng)的物體其位移與時(shí)間的比值不是恒定不變的，這時(shí)我們可以用一個(gè)速度粗略地描述物體在這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)的快慢情況，這個(gè)速度就叫做平均速度。

自由落體平均速度公式

自由落體運(yùn)動(dòng)是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，它的平均速度計(jì)算方法有：

1、自由落體平均速度=中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度

2、自由落體平均速度=(初速度+末速度)/2=末速度/2

3、自由落體平均速度=gt/2

三、自由落體瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度

瞬時(shí)速度表示物體在某一時(shí)刻或經(jīng)過某一位置時(shí)的速度，該時(shí)刻相鄰的無限短時(shí)間內(nèi)的位移與通過這段位移所用時(shí)間的比值 v=△x╱△t 。 瞬時(shí)速度是矢量，既有大小又有方向。瞬時(shí)速度是理想狀態(tài)下的量。

自由落體瞬時(shí)速度的探索

1、伽利略的困惑

①伽利略發(fā)現(xiàn)：小球在斜面上滾下的距離S和所用的時(shí)間t之間有函數(shù)關(guān)系S(t)=at2，這叫做小球的運(yùn)動(dòng)方程，這里，a是與斜面的坡度有關(guān)的常數(shù);

②伽利略的困惑：重力作用下在斜面上向下滾的小球，隨著時(shí)間的增加，速度越來越快。但是，他只知道計(jì)算在一個(gè)時(shí)間段里的平均速度，卻不知道如何計(jì)算小球在某一時(shí)刻的速度，即瞬時(shí)速度。

2、牛頓的思路

如果小球在斜面上向下滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程是S(t)=3t2，要計(jì)算小球在開始運(yùn)動(dòng)2 s時(shí)的瞬時(shí)速度，不妨先看看它在2 s到2.1 s之間的平均速度，即在區(qū)間[2，2.1]上的平均速度，同理，可以計(jì)算[2，2.01]，[2，2.001]…和[1.99，2]，[1.999，2]，[1.999 9，2]……上的平均速度.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在時(shí)間間隔不斷的縮小的過程中，對(duì)應(yīng)的平均速度無限地接近一個(gè)數(shù)值12。

3、結(jié)論

數(shù)學(xué)結(jié)論：時(shí)間段的長度趨于0時(shí)，這段時(shí)間內(nèi)的平均速度就以12 m/s為這個(gè)極限數(shù)值，就是小球開始運(yùn)動(dòng)后2 s時(shí)的瞬時(shí)速度。

方法小結(jié)：①先計(jì)算出時(shí)刻t和t+Δt之間小球運(yùn)動(dòng)的距離，在除以時(shí)間段的長度Δt，求出平均速度;②讓?duì)趨向于0，得到小球在該時(shí)刻t的瞬時(shí)速度。

自由落體瞬時(shí)速度公式

平均速度公式v平均=Δs/Δt，則v平均={[?g(t+Δt)2]-?gt2}/[(t+Δt)-t] ，則v平均=gt+?gΔt。Δt越小算的平均速度越接近瞬時(shí)速度。那干脆讓?duì)=0，則得到：

自由落體瞬時(shí)速度：v=gt